对电容充放电过程的理解

很多年前就学过电容的性质了,之后也知道了如何快速写出时域上电容充放电过程的表达式,不过好长时间不用又忘了……今天又捡起来回忆了一下,在此总结记录一下。

理想电容的基本性质很简单:

$$i=C\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{dt}}$$

从线性系统的角度来看,这就是一个一阶微分系统,所以对电容的分析其实可以直接用于其他类似系统的,比如电感等。

一个基本的RC电路,如果在时域列微分方程,大概是这样的:

$$C\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{dt}}+\frac{u}{R}=0$$

最早学电路的时候,都是叫我们直接求解这个微分方程的,然后就结束了,这其实并没有理解到问题的实质,我们不可能也不需要在分析每个电路的时候都去解微分方程的。之后学到了信号与系统,还有线性系统理论,从s域的角度对此问题有了更好的理解,其实在s域中,可以把电容电感当成和电阻一样的东西进行分析的,串联并联都很简单,就比如RC电路的传递函数是这样的:

$$\frac{1}{RCs+1}$$

不过这依然不能直接得出时域性质,求解反拉普拉斯变换也很麻烦的,而且复杂点的还不一定求得出来……

MIT的电路与电子学真的堪称基本电路课程中最好的,虽然从所谓的“深度”上看,远远不如国内的很多教材和课程,不过其中蕴含的思想极为深刻而实用,多少年前看完至今仍然受益匪浅啊……

回到RC电路上来,在MIT的公开课中,Agarwal教授给出了一种很快捷的方法可以直接写出各种一阶系统的时域响应。我们知道,无论是通过求解微分方程还是进行反拉普拉斯变换,任何一阶系统在时域的表达式都是exp()形式的,即都有这么一项:

$$\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$$

上式必然是负指数形式的,否则系统不收敛。$\tau$就是所谓的时间常数,从拉氏变换中可以很容易的找出这一项来。现在有意思的地方来了,任意一阶系统的时域响应其实都可以写成以下形式的:

$$u(t)=A+B\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$$

其中$A$、$B$是两个待定系数,根据直觉,我们可以很容易的确定这两个系数,当$t\rightarrow+\infty$时,后一项趋于0,故$A$就是系统的稳态解,而当$t=0$时,指数项等于1,故$A+B$就是系统的初始状态。根据这两个状态就可以写出完整的表达式了~这对于电容有初始电压时进行充电的过程尤为方便~

上面的做法也许不那么严谨,不过的确是行之有效的。我们也可以从另一个角度来严谨的看这一问题,在线性系统理论中我们知道,LTI系统的响应可以分解为两部分,零输入响应和零状态响应,系统的完整响应就是二者的叠加。对于一阶系统来说,零输入响应就类似电容的放电过程:

$$u(t)=V\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$$

而零状态响应就对应电容的充电过程:

$$u(t)=V(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}})$$

二者的叠加,化简一下不就成上面那个简单的式子了么~

上面是以电容充放电为例分析了以下,然而这显然不局限于电容的充放电,所有的一阶LTI系统都可以用这种方法快速确定其时域响应~这就是Agarwal教授所谓的工程师的直觉~