N皇后问题

N皇后问题是经典八皇后问题的扩展:在N*N的棋盘上,有N个皇后需要放置,需满足任意两个皇后不能位于同一行、同一列或者是同一对角线上,求一共有几种放置方法。

N皇后问题是一个经典的回溯法的例子,核心思想就是逐行(或逐列)放置,若某一行没有可供放置的位置了,说明前面的放置有误,故回溯到上一行寻找下一个可能的位置。N皇后问题是一个NP-Hard问题,其算法复杂度是指数复杂度的。下面给出两种实现方法。

经典回溯非递归实现

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int NQueens(int N) {
int * columns;
int i, j, k, result;

// 初始化
columns = (int *)malloc(sizeof(int) * N);
result = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {
columns[i] = -1; // -1代表还未放置
}

for (i = 0; i >= 0;) {
// 寻找第i列下一个可供放置的位置
for (j = columns[i] + 1; j < N; j++) {
// 检查位置是否冲突
for (k = 1; i - k >= 0; k++) {
if (columns[i - k] == j || columns[i - k] == j - k || columns[i - k] == j + k) {
break;
}
}
// 有位置可用
if (i - k < 0) {
columns[i] = j;
break;
}
}

// 第i列已经没有空位,需要回溯
if (j == N) {
columns[i] = -1;
i--;
continue;
}
// 到达最后一列,找到一个解
if (i == N-1){
result++;
}
// 继续寻找下一列
else {
i++;
}
}
free(columns);
return result;
}

程序很简单,就不多说明了。

位运算递归实现

上面使用数组实现的回溯法其实效率很低,N皇后最高效的解法是位运算算法,下面给出实现代码:

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static int upperlimit;
static int count;
int main(){
int N;
printf("Enter N : ");
scanf("%d", &N);
count = 0;
upperlimit = (1 << N) - 1;
NQueen(0,0,0);
printf("Solution : %d\n", count);
}

void NQueen(int row,int ld,int rd){
int pos, p;

//row == upperlim,说明皇后全部放进去了
if(row != upperlimit){

//row,ld,rd进行“或”运算,如:000101 ,1的列表示已经放置了皇后
//pos 取反得 111010,1表示可以放皇后的列
//upperlimit 是上限值,控制二进制长度:
//如:(~(row | ld | rd ) = 100001011101时,upperlimit = 111111,pos= 011101
pos = upperlimit & (~(row | ld | rd ));
while (pos != 0) {

// 找出可以放皇后的位置(默认从右到左),如:p=000100,表示该行右边第三个位置可以放皇后。
// p就表示该行的某个可以放皇后的位置,把皇后放在这个位置上后,就把它从pos中移除并递归调用test过程。
p = pos & (~pos + 1);

// 把皇后放在这个位置上后,就把它从pos中移除并递归调用test过程。
// 如:pos = 111100时,p = 000100,把皇后放在这个位置上后, pos = pos - p, pos=111000
pos = pos - p;
//(row|p) 是计算已经在对应列上面的皇后
//(ld | p)<< 1 是因为由ld造成的占位在下一行要右移一下;
// (rd | p)>> 1 是因为由rd造成的占位在下一行要左移一下
test((row|p),(ld|p)<<1,(rd|p)>>1);
}
}else {
count++;
}
}

此算法的详细解释见:

八皇后问题详解及代码实现(位运算算法)
N皇后问题的两个最高效的算法
位运算简介及实用技巧(三):进阶篇(2)

实际测试表明,此方法的效率是简单回溯的10倍左右。


附注:1~27皇后问题的解法数量见:A000170,这个可以用来验证自己写的算法是否正确。

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